A. Pringsheim: lieber die Convergenz unendlicher Kettenbrüche. 313 
e y (v = 1, 2, 3, . . .) reelle oder complexe Zahlen mit 
dem absoluten Betrage 1, so ist der Kettenbruch 
00 
unbedingt convergent. Setzt man sodann: 
i 
00 
= K , so ist K—e\, wenn die Reihe Spi p-i ... p v 
i 
divergirt und ausserdem für jedes v 1: 
Q_v Pv lj £y-|~l 1 t 
£y P> V 
, Q.v . 
Ey Pv 
. . 
dagegen hat man in jedem anderen Falle: 0< ÜT| < 1. 
P, 
Beweis. Bezeichnet man mit — y- (v == 0, 1, 2, . . .) die 
Näherungsbrüche des obigen Kettenbruches, so wird zunächst: 
also: 
(35) 
und daher: 
(36) 
Qo 
«•1 = 1 
I«, 
_0 
1 ’ 
p l = £ lpl 
Qi <k 
I Öl I = g? 1 + Pl 
«o I >Pi > 0. 
Da sodann für die Beziehung besteht: 
(37) 
Qv Uv * Qv — 1 ^V Pv Qv- 
-2 j 
so folgt: 
1 Qv 
| ^ (1 + Pv) • I Qv- 1 1 Pv 
1 Qv - 2 | 
oder: 
(38) 
1 Qv\ 
1 Qv— 1 1 ~^-Pv { Qv — 1 1 
1 Qv - 2 |}. 
Hieraus ergiebt sich durch Substitution von (r — 1), (v — 2), 
... 2 an Stelle von v: 
(39) 
! öv-1 | i Qv - 2 I ^Pr- 1 { Qv- 2 I Qv-3 |} 
1 Qv - 2 | j Qv-3 | ^ Pv- 2 {| Qv-3 | | Qv- i } 
— Ql I >pi { ^1 — I Öo \)>P2P\. 
