A. Pringsheim: Ueber die Convergenz unendlicher Kettenbrüche. 315 
oder, wenn man: 
Pi • * • Pv Sy Sy — 1 , Pl • Sl 1 
substituirt : 
S y J)y 
q v 
(46) 
und somit: 
(47) 
_ ^1 1 I Sy Sy— 1 
£ 1 ' 7 j H S’’ ( ■*■) £j £ 2 . . . £y • — 7 : 77~ , 
Vi 2 Vv-1 Yv 
-- 1 . Sy Sy 1 
5^ — 77 r 2j’’ 
r s v p v 
00 
L Sv 
1 
Qi 
Qv — i Qv 
Sieht man zunächst von dem durch Gl. (43), (44) charak- 
terisirten Specialfalle ab, so ergiebt sich mit Benützung von 
Ungl. (42 b): 
(48) 
r oo l 
Sy 'Pv 
- SV J, I 
00 
2 
(mit Ausschluss der Gleichheit). Hieraus folgt, dass die 
Reihe (46) absolut convergirt; es convergirt also auch 
der Kettenbruch und wie Ungl. (48) lehrt, ist sein absoluter 
Werth < 1 (gleichgültig ob lim — =0 oder > 0). 
Sy 
Sind dagegen die Special-Bedingungen (43), (44) erfüllt, so 
geht durch Einführung von Gl. (44) und (42 b) die Beziehung (46) 
in die folgende über: 
00 
Ist also die Reihe 1 + p x + S v P\ P 2 • • - Pv = lim s v con- 
2 v=oo 
vergent, etwa lim s v — s (wo: s> 1), so wird: 
r=oo 
Sy Py 
also wiederum: 
1 
s. 
to 
1 
“i 
q v 
1 
(50) 
