A. Pringsheim: Ueber die Convergenz unendlicher Kettenbrücke. 317 
(54) I «v | — | b v | ^ 1 (v = 1, 2, 3, . . .). 
Sein absoluter Werth ist stets < 1, ausser wenn 
durchweg: 
(55) I a v j — I by | = 1, ßy ßr+\ = — a„ + i ( v > 1), 
und yj | «2 • • • Uv | divergirt. In diesem einen Falle 
wird: 
(56) 
= also: 
ßi 
’ a v ' 
00 
ly 
1 
= 1. 
Es ist leicht ersichtlich, in welcher Weise dieser Satz zu 
modificiren ist, falls die Convergenz-Bedingung (54) erst für 
v > m (wo m > 1 erfüllt ist. 
§ 4. 
Mit Hülfe des eben bewiesenen Satzes lässt sich der be- 
kannte Legendre’sche Irrationalitäts-Satz folgendermaassen 
o O 
formuliren : 1 ) 
Sind g,,, h r positive ganze Zahlen, welche der 
Bedingung genügen:*) 
(57) hy- 9 y> 1 (v = 1, 2, 3 . . .), 
und bedeutet e y für v = 1,2,3,... ganz nach Be- 
lieben die positive oder negative Einheit, so con- 
*) Genau genommen ist dies im wesentlichen diejenige Form, in 
welcher Legend re den fraglichen Satz schon ausgesprochen, aber 
in der Hauptsache nicht bewiesen hat. Vgl. die bezüglichen Be- 
merkungen in der folgenden Mittheilung: „Ueber die ersten Beweise der 
Irrationalität von e und jt“, p. 336. 
2 ) Hat man durchweg e v = -j- 1 , so genügt bekanntlich für die 
Convergenz des Kettenbruches und die Irrationalität seines Wertlies 
schon die Bedingung: h v — g v > 0. Vgl. Stolz, a. a. 0. S. 297. 
