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Sitzung der math.-phys. Classe vom 11. Juni 1898. 
vergirt der Kette nbrucli 
Er Qv 
hy 
stets gegen einen 
irrationalen Wertli, sofern nicht durchweg: 
(58) h,. — (jy = 1, = — 1 für u > m (wo: m > 1). 
00 
= 1 bezw. ein 
Im letzteren Falle wird: • 
ErQ r 
hy 
rationaler achter Bruch, je nachdem m= 1 bezw. 
m > 1. 
Beweis. Da der Kettenhruch nach dem Satze des § 3 
unbedingt convergirt, so kann gesetzt werden: 
(59) 
Erjh 
hy 
= K m (m = 0, 1, 2, . . .), 
m+l 
wo die K m (in = 0, 1, 2, . . .) bestimmte Zahlen von der Be- 
schaffenheit bedeuten, dass im allgemeinen K m | < 1, nur 
in dem durch die Gleichungen (58) charakterisirten Special- 
falle K m — e m . x ) Daraus folgt dann unmittelbar die Richtig- 
keit der oben ausgesprochenen Behauptungen, soweit sie sich 
auf den genannten Specialfall beziehen. 
Sind nun die fraglichen Special-Bedingungen nicht erfüllt, 
so hat man für jeden Werth von du (di = 0, 1, 2, . . .): 
Ä',„ <1 (mit Ausschluss der Gleichheit). Aus der Annahme: 
K 0 = — , wo p <C — 1 sein müsste, würde dann folgen : 
P_ e i9i 
q \ + K x 
also: 
(61) ATj = — — ^ und zugleich: 0 < [ AT, | < 1, 
d. h. ATj wäre ein achter Bruch, dessen Nenner höchstens 
= q — 1 sein könnte. Durch Uebertragung dieser Schluss- 
weise auf K 2 , K 3 , . . . gelangt man also zu dem Resultate, 
dass A„,, wo di höchstens —q — 1 sein könnte, ein achter 
!) Die für die Existenz dieser letzteren Beziehung noch erforder- 
liche Bedingung, dass 9\ 9s ■ ■ • 9v divergirt, ist hier wegen g v > 1 
eo ipso erfüllt. 
