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Ueber die ersten Beweise der Irrationalität 
von e und n. 
Von Alfred Pringsheim. 
(Eingelaufen 1. August.) 
So viel mir bekannt ist, hat sich ganz allgemein die An- 
sicht herausgebildet, dass der erste Beweis für die Irratio- 
nalität von e und n, <? und tang x (wo x ein für allemal 
eine rationale Zahl bedeuten soll) von Lambert herrühre, 
dass indessen dieser Beweis erst dui'ch Legend re die nöthige 
Vollständigkeit und Strenge erhalten habe. 1 ) Ein genaueres 
Studium der betreffenden Literatur hat mich indessen zu der 
Ueberzeugung geführt, dass diese Ansicht in mehrfacher Be- 
ziehung einer Modification bedarf, nämlich: 
1. Die Irrationalität von e und e % ist schon von Euler 
im Jahre 1737, d. h. 30 Jahre vor Lambert, im wesentlichen 
bewiesen worden. Zugleich giebt auch Euler schon diejenigen 
allgemeinen Kettenbruch-Entwickelungen, auf denen der Lam- 
bert’sche bezw. Legen d re’ sehe Irrationalitäts-Beweis für 
e*, tang# und n beruht. 
2. Lambert hat, ohne diese Euler’schen Entwickelungen 
zu kennen, die Irrationalität von c*, tang x und n vollständig 
') Vgl. z. B. Stolz, Vorl. über Allg. Arithmetik, Bd. II (188G), 
S. 325, Note 16. — Baclmann, Vorl. über die Natur der Irrational- 
zahlen (1892), S. 53. — Rudio, Arc-himedes, Huygens, Lambert, Legendre. 
(1892), S. 55. 56. — F. Klein, Vortr. über ausgew. Fragen der Eiern. - 
Geometrie (1895), S. 46. 
