A. Pringsheim: Ueber die ersten Beiceise der Irrationalität etc. 327 
der Zahl c zusammenhängende Kettenbruch -Entwickelungen, 
z. B. solche für e, Y e angegeben hat. 1 ) Die grössere Mannig- 
faltigkeit der an dieser Stelle mitgetheilten Kettenbruch- 
Entwickelungen scheint mir indessen von secundärer Be- 
deutung: wesentlich erscheint mir dagegen die Methode, 
welche hier zur endgültigen Herleitung der fraglichen Ent- 
wickelungen dient und von deren Existenz in der Introductio 
sich lediglich eine kurze und leicht gänzlich zu übersehende 
Andeutung findet. Dort werden lediglich durch numerische 
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Rechnung aus dem der Reihe e = 1 -j- )£>■ — - entnommenen 
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Decimalbruche e = 2, 718281828459 die oben (Gl. (1)) ange- 
schriebenen 6 Anfangsglieder des Kettenbruches bestimmt, im 
übrigen heisst es: „ cujus fractionis ratio ex calculo infmitesimali 
dari potest. “ In der citirten Abhandlung findet nun Euler die 
genannten Kettenbrüche für e, Y e (ausserdem noch solche für 
\ (Yc — l)> l (Y — 1); ° | ) zunächst gleichfalls durch eine 
rein numerische Induction, welche vermuthen lässt, dass 
die betreffenden Theilnelimer arithmetische Reihen bilden. 
Dann aber fahrt er folgendermaassen fort: 2 ) „ Cum autem in 
prciccedmtihus, ubi numerum e ejusque potestates in fractiones 
continuas converti, progressionem arithmeticam denoniinatomm 
tantum observaverim, neqne praeter probilitatem de hujus pro- 
gressionis continuatione in infinituni quiequam affrmare valuerim ; 
in id potissimum incubui, at in hujus progressionis necessitatcm 
inquirerem, eamque firmiter demonstrarem. “ Und nun folgt 
die Angabe einer wirklich analytischen Methode, welche 
zur definitiven Herleitung jener Kettenbrüche — sogar in 
merklich verallgemeinerter Form — sich als brauchbar erweist. 
Dieselbe beruht auf einer zwiefachen Integration der Ric- 
cati’schen Differential-Gleichung, einmal mit Hülfe eines 
unendlichen Kettenbruches, sodann in geschlossener Form mit 
b L. c. p. 120. 121. 
2 ) L. c. p. 129. 
