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Sitzung der math.-phys. Classe vom 11. Juni 1898. 
Hülfe von Exponential-Functionen. 1 ) Die erste Art der Inte- 
gration ist immer möglich, die zweite, wenn die in der 
Gleichung auftretenden Exponenten gewissen Bedingungen ge- 
nügen. Im letzteren Falle ergiebt sich dann auf Grund der 
Eindeutigkeit des betreffenden Integrals eine Kettenbruch-Dar- 
stellung des aus der Integration resultirenden Exponential- 
Ausdruckes. Von den auf diese Weise von Euler abgeleiteten 
Kettenbrüchen hebe ich hier die folgenden hervor: 2 ) 
(3) 
(4) 
i 
1 
i 
e s — 1 
(2 + 4r) S J’ 
(2 + 4v) S J; 
deren zweiter für ^ =2x bezw. — 
s s 
2 xi im wesentlichen 
diejenigen Entwickelungen giebt, welche von Lambert und 
Legen dre zu den fraglichen Irrationalitäts-Beweisen benützt 
worden sind; während der erste für s = l bezw. s = l un- 
mittelbar die volle Bestätigung der zunächst auf rein induc- 
tivem W ege gefundenen regelmässigen Kettenbruch-Ent- 
wickelungen für 
e 1 — 1 
liefert. Da nun den Aus- 
2 ’ 2 
gangspunkt jener Euler’ sehen Betrachtungen die ausdrück - 
1 ) Euler hat diese Methode, die an der betreffenden Stelle ziem- 
lich kurz behandelt ist, später in einer eigenen Abhandlung („Sum- 
matio fractioniscontinuae, cujus indices progressionem arith- 
meticam constituunt etc.“) ausführlich entwickelt: Opusc. analyt. 
T. II, p. 217 — 239. Eine hierauf beruhende gedrängtere Darstellung 
giebt Stern in seiner Theorie der Kettenbrüche: Journ. f. Math. Bd. 11 
(1834), S. 60 ff. — Der Vollständigkeit halber sei hier erwähnt, dass 
auch Lagrange („Sur l'usage des fractions continues dans le calcul 
integral“, Mein. Acad. de Berlin, 1776) ähnliche Kettenbruch-Entwicke- 
lungen, wie die hier in Frage kommenden, gleichfalls durch zwiefache 
Integration gewisser Differential -Gleichungen abgeleitet hat: Oeuvres, 
T. IV, p. 319—323. 
2) L. c. p. 131. 132. 
