A. Pnngsheim: Ueber die ersten Beweise der Irrationalität etc. 331 
bar zuvor besprochenen allgemeineren Entwickelungen, so trans- 
Sill V 
formirt er zunächst tang v = rein formal in einen Ivctten- 
COS V 
brucli, indem er auf die beiden zur Darstellung von sin v, cos v 
dienenden Potenzreihen das bekannte Euklidische Divisions- 
Verfahren zur Aufsuchung des grössten gemeinsamen Theilers 
anwendet. Schon hierbei zeigt sich ein merklicher Fortschritt, 
wenn man Lambert’s Darstellungsweise mit derjenigen zeit- 
genössischer Autoren vergleicht: während diese sich in analogen 
Fällen begnügen, einige wenige Anfangsglieder zu bestimmen 
und das übrige der Induction überlassen, wobei noch überdies 
die Wahl einer ganzen Folge verschiedener Buchstaben 
für die in Betracht kommenden Grössen zumeist gar nicht 
gestattet, das allgemeine Gesetz mit genügender Deutlichkeit 
zu übersehen und zu formuliren, so bedient sich Lambert zur 
Bezeichnung der fraglichen Quotienten und Reste in ganz mo- 
derner Weise nur zweier Buchstaben Q, R mit laufenden In- 
dices, 1 ) findet Q', E , Q", R" durch direkte Rechnung und be- 
stimmt sodann das allgemeine Bildungsgesetz durch den Schluss 
von n auf n + 1. Das ist freilich nur eine Aeusserlichkeit: ich 
glaubte sie aber erwähnen zu müssen, weil sie mir bei einer 
Arbeit aus dem Jahre 1767 für die analytische Genauigkeit und 
Schärfe des Verfassers charakteristisch erscheint. In dieser 
Weise wird also zunächst der Kettenbruch für tang v mit aller 
irgend wünschenswerthen Praecision formal hergeleitet. 
Nun aber stellt Lambert eine Betrachtung an, die mir 
— immer mit Rücksicht auf die Jahreszahl 1767 — geradezu 
erstaunlich dünkt. Während nämlich jeder seiner Zeit- 
genossen sich mit dieser formalen Ableitung sicherlich begnügt 
o o o CT 
V e x — 1 
die Kettenbrüche für — , tang x) zu suchen, gab mir Herrn Euler ’s 
e -f- 1 
Analysis infinitorum, wo der Ausdruck 
e— 1 ; l 
2 _ | 1 
_LI 
f 18 
+ ••• 
in Zahlen berechnet, in Form eines Beispieles vorkommt.“ 
b Dieser Kunstgriff rührt vonLeibniz her. Vgl. Gerhardt, Gesch. 
d. Math. p. 183. 
