A. Pringsheim: Ueber die ersten Beiveise der Irrationalität etc. 333 
lung gewisser Functionen in convergirende Ketten- 
brüche, insbesondere: 
r l ll 00 
}) tangv= - , — — — — 
° ll:v 1 (2y + l):t?J 
gV ß — V 
und entsprechend für ; 
1 & -f e~ v 
Der an Gl. (3) anknüpfende Irrationalitäts-Beweis für 
den Fall eines rationalen v nimmt sodann ungefähr folgenden 
o o 
Gang. Bezeichnet man mit cp, co irgend zwei natürliche, relativ 
prime Zahlen und setzt: 
(4) 
so wird: 
(5) 
sin = M, 
co 
cos — — F, 
00 
tang 
~ p “L 
cp 4 
(2 v -f- 1) co 
r 
Alsdann lässt sich, wie unmittelbar zu sehen, dieser Ketten- 
bruch durch das folgende unbegrenzte System von recurrenten 
linearen Gleichungen ersetzen: 
cp P — CD M 
— R’ 
cp 2 M = 3 o) II 
— R" 
cp 2 1( = 5 co R" 
— R’" 
<p 2 #••-*> = (2 » — 1) R(»-' 
) _ R(n) 
oder, anders geschrieben: 
1) R — co M 
— cp P 
3 
co 
II 
oT 
— cp 2 M 
(6) 
3) R " = 5 coR" 
— cp 2 R‘ 
n ) R^ = (2 w — 1) co — <p 2 R(“~ 2 \ 
Die R M genügen also — abgesehen von den beiden An- 
fangsgleichungen (6J, (6 2 ) genau derselben ßecursionsformel (6„), 
