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Sitzung der math.-phys. Classe vom 11. Juni 1898. 
wie die Zähler und Nenner der zum Kettenbruche (5) ge- 
hörigen Xäherungsbriiche. Werden diese also etwa wieder 
mit A n , B„ (n = 1, 2, 3, . . .) bezeichnet, so ergiebt sich mit 
Berücksichtigung jener Anfangsgleichungen (6j), (6 2 ) die Be- 
ziehung : 
(7) W") = MB» - PA n = PB tl 
Hieraus folgt, dass die R M durchweg von Null ver- 
schieden sind und mit unbegrenzt wachsendem n beliebig 
klein werden; die bei Gelegenheit des vorausgehenden Con- 
vergenz-Beweises durchgeführte Untersuchung der Näherungs- 
brüche zeigt nämlich, dass nicht nur 
M 
P 
sondern auch 
B n ^ j mit lim n = oc gegen Null convergirt. 
M 
Angenommen nun, es wäre rational, also etwa: 
( 8 ) 
M in 
j> = 
wo in, p natürliche, relativ prime Zahlen. Alsdann kann 
man setzen : 
(9) M = — = J), also: M = m • D, P=p-D, 
m p 
wo D eine ganz bestimmte Irrationalzahl bedeutet (da von 
den Zahlen M — sin — , P = cos — = Y l — M 1 unter allen 
co co 
Umständen mindestens eine irrational sein muss. Mul- 
tiplicirt man nun die Gleichungen (6) mit ~ , so gehen sie 
in die folgenden über: 
