A. Pringsheim: Ueber die ersten Beweise der Irrationalität etc. 335 
R' 
D 
= com 
— epp 
R" 
R’ 
D 
= 3 tu 
D 
cp % m 
R’" 
R" 
a R' 
D 
= 5 o) 
D 
VlD 
RM 
= (2 n 
— 1) Co 
R(»-V _ß(—2) 
JD 
JD * D 
R' R" 
welche zeigen, dass yy , also auch yy , . . . ~yy . . . durch- 
weg ganze Zahlen sein müssten. Man hätte also ein unbe- 
grenztes System von Null verschiedener und schliess- 
lich beliebig klein werdender ganzer Zahlen, was unmög- 
lich ist. Somit muss tang — - - irrational sein. 
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Dies also ist den Hauptzügen der angeblich so unzulängliche 
Lambert’sche Beweis: mir erscheint er ausserordentlich 
scharfsinnig und im wesentlichen vollkommen ein- 
wandfrei. 
Ich komme nun schliesslich auf den Antheil Legendre ’s an 
dem fraglichen Irrationalitäts-Beweise su sprechen. Legendre 
leitet in der bekannten Note IV seiner Elements de geo- 
metrie zunächst die erforderlichen Kettenbruch-Entwickelung-eu 
von neuem ab. 1 ) Sein recursorisches Verfahren ist merklich, 
einfacher und eleganter als die etwas schwerfällige Divisions- 
Methode Lambert ’s. Aber, da jeglicher Convergenz- und 
Gültigkeitsbeweis fehlt, so bleibt Legendre in Bezug auf 
Strenge hinter Lambert weit zurück. — Nun folgt jener 
Hülfssatz, welcher den eigentlichen Kern des Legendre’ sehen 
Irrationalitäts-Beweises bildet, nämlich : 
ü Rudio, p. 159 ff. 
1898. Sitzungsb. d. math.-phys. CI. 
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