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Sitzung der math.-phys. Classe vom 11. Juni 1898. 
Bedeuten m, n, m , n etc. ganze positive oder 
m 
negative Zahlen von der Art, dass 
m m 
T *, TT j 6 t C. 
nun 
ächte Brüche 
m nt" 
n 
n 1 n 
sind, so hat der Kettenbruch: 
einen irrationalen Werth. 
Hier muss gesagt werden, dass das von Legendre ange- 
wendete Beweis-Princip, welches auf der völlig unbe- 
wiesenen Sup position beruht, dass der Kettenbruch selbst 
und jeder durch Weglassung von Anfangsgliedern daraus hervor- 
gehende ohne weiteres einer bestimmten Zahl gleich ge- 
setzt werden dürfe, direkt unrichtig ist. Thatsächlich lässt 
sich nach dieser Methode alles mögliche, richtiges und falsches 
beweisen. Man könnte z. B. mit genau demselben Maasse 
von Strenge, welches dem fraglichen Legendre’schen Be- 
weise innewohnt, zeigen, dass unter den periodischen Ketten- 
brüchen mit lauter reellen Gliedern unendlich viele mit com- 
p lesen Grenzwerthen Vorkommen. Mit anderen Worten: 
der Legend re’sc he Beweis hat überhaupt erst einen Sinn, 
wenn die Convergenz und sogar (nach der in der vorangehenden 
Mittheilung benützten Terminologie) die unbedingte Con- 
vergenz jener Kettenbrüche wirklich feststeht. Die ent- 
sprechenden Convergenz-Beweise und zwar zunächst nur 
für die besonderen Fälle, dass alle 
positiv oder alle 
m (r) 
n (y) 
negativ, sind aber erst um die Mitte unseres Jahrhunderts 
geliefert worden, 1 ) und consequenter Weise findet man auch 
in den Lehrbüchern der Analysis die Gültigkeit des obigen 
Satzes auf diese besonderen Fälle eingeschränkt. 2 ) Dass dieser 
letztere sogar in dem von Legendre ausgesprochenen weiteren 
Umfange d. h. bei ganz beliebigen Vorzeichen der m (r \ 
*) Ygl. die vorige Mittheilung, p. 311. 
2 ) Stern, Algebr. Anal. p. 482. 484. Schlömilch, Algebr. Anal, 
p. 303. Stolz, Allgem. Arithm. Bd. II, p. 297. 
