406 Sitzung der math.-phys. Classe vom 2. Juli 1898. 
Ordinate 0 in der Bildebene hinzutreten, hat man also neben- 
einander die 10 Produkte zu erwarten, jedes multipliziert mit 
einem von den Elementen des Apparats abhängenden Koeffi- 
zienten. Die Entwicklung dieser verschiedenen Koeffizienten 
bildet die eigentliche Schwierigkeit der Aufgabe. Aus der 
Symmetrie, welche beiderseits derjenigen Ebene notwendig statt- 
findet, die zugleich die optische Axe und den leuchtenden 
Punkt enthält, und in welche unsere radialen Koordinaten 
fallen, während die lateralen auf ihr senkrecht stehen, ist 
übrigens sofort zu erkennen, dass die radialen Fehlerabwei- 
chungen im Bilde gerade, die lateralen ungerade Funktionen 
von y sein müssen, dass also unsere 10 Produkte in der Weise 
in zwei Hauptgruppen zerfallen müssen, dass nur Vorkommen 
können in dem Ausdruck der radialen Fehler des Bildes die 
6 Glieder mit x 3 , xiß, Rx 2 , Riß, R l x, R 3 , und in dem der 
lateralen Fehler die 4 Glieder mit % % y, y 3 , Rxy, R % y. In 
der Tliat finden sich auch in den ersten Ausdrücken jene 6, 
in den zweiten die letzteren 4 wirklich alle vor. Die Anzahl 
von 10 Koeffizienten, welche zur vollständigen Kenntnis der 
Fehlerbestandteile dritter Ordnung durch die Elemente des 
optischen Systems demgemäss darzustellen waren , reduziert 
sich jedoch erheblich. Aus der Erwägung, dass in dem ein- 
fachen Hauptfalle R = o, wo der leuchtende Punkt sich in 
der Axe selbst befindet, der Strahl die Ebene nicht verlassen 
kann, welche die Axe und seine erste Richtung enthält, und 
dass die absolute Grösse der ganzen Abweichung, die er im 
Bilde zeigt, hier notwendig proportional wird der dritten Po- 
tenz des Abstandes von der Axe, in welchem er die Oeffnungs- 
ebene trifft, ergibt sich, dass nachbenannte 4 Glieder alle ein 
und denselben Koeffizienten haben müssen, nämlich die beiden 
mit x • x* und x • y 1 im ersten, und die beiden mit y • x * und 
y ■ iß im zweiten Ausdruck. Mit der Vernichtung des gemein- 
schaftlichen Koeffizienten dieser 4 Glieder wird für die Mitte 
des Gesichtsfeldes R = o die Kugelabweichung (genauer gesagt 
ihr Bestandteil dritter Ordnung) völlig aufgehoben : in der 
Tliat hat sich die Bedingungsgleichung für die Beseitigung 
