L. v. Seidel: Ueber die Bedingungen etc. 
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dieses Fehlers aus der auf den Raum ausgedehnten Unter- 
suchung in den Astr. Nachr. No. 1027 ff. genau ebenso er- 
geben, wie ich sie früher auf wesentlich anderem Wege in 
No. 835 für sich allein abgeleitet hatte. Durch diese not- 
wendigen Beziehungen vermindert sich die Anzahl der Koeffi- 
zienten für unsere 6 -j- 4 Produkte von 10 auf 7. Dass diese 
Anzahl sich noch weiter vermindert, nämlich von 7 auf 5, ist 
ein Umstand, von welchem es nicht scheint, dass auch er sich 
als notwendig a priori ohne Rechnung oder eine dieselbe er- 
setzende Deduktion erkennen lasse. Wirklich verhält es sich 
so, da die Entwicklung der Werte all dieser Koordinaten dar- 
gethan hat, dass in dem Ausdruck der radialen Fehler die 
beiden Produkte Rx 2 und Ry % nur in der Verbindung auf- 
treten R (3äP -f- y*), und weiter, dass diese Verbindung mit 
demselben Koeffizienten multipliziert erscheint, welcher in dem 
Ausdruck der lateralen Fehler das Produkt 2 Rxy enthält. 
Sonach treten im ganzen im Ausdruck der radialen Fehler 
4 Koeffizienten auf, multipliziert mit den Grössen x (x 1 -f- y 1 ), 
R (3 x' 1 -f- y % ), R 2 x und R 3 , in dem Ausdruck der lateralen 
Fehler aber drei Koeffizienten, multipliziert mit den Grössen 
y (V* -j- ?/-), 2 Rxy, R 1 y, und dabei ist der erste Koeffizient 
des einen Ausdrucks dem ersten des andern, ebenso der zweite 
des einen dem zweiten des andern gleich, während die Koeffi- 
zienten der beiderseitigen dritten Glieder verschieden sind. 
Das vierte mit R l multiplizierte Glied im Ausdruck der radialen 
Abweichung steht ebenfalls isoliert. Da dieses Glied für alle 
von demselben leuchtenden Punkt kommenden ( R = const.), 
an den verschiedenen Stellen der Oeffnungsebene auffallenden 
Strahlen konstant ist, so bewirkt es nur eine Verschiebung 
im radialen Sinn des ganzen, in der Bildebene von jenem 
leuchtenden Punkt herrührenden Lichtphantom, hat aber auf 
die Ausdehnung desselben keinen Einfluss, oder mit andern 
Worten, dieses Glied ist nicht für die Schärfe der Abbildung, 
sondern nur für die Richtigkeit ihrer Perspektive von Einfluss. 
Bezeichnen wir die 5 Koeffizienten mit A, R . . . E, die radiale 
Abweichung, welche der durch R, x, y bestimmte Strahl scliliess- 
