A. Pringsheim: Zwei- und mehrfach unendliche Reihen. 
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(14) i.C'l • • ■ V p Cv l Cr 2 • • • Cy . 
0 
Es ergibt sich daher für die jj-fach unendliche Reihe 
JJ-'i • • • r p a -i ■ ■ x P Konvergenz, wenn: 
(II r< ) lim C Vi ■ C\ 2 . . . C v • a,., ex». 
v i + • • • 4- Vp = » 1 
Die Wahl c„, . . . Vp = a”i + •■■ + > (wo 0 < a < 1), deren Zu- 
lässigkeit sich wiederum ergibt, sowohl wenn man in (13) 
c>. = F _1 • a’- als auch wenn man in (14) c>. — a '■ setzt, liefert 
zunächst für die Konvergenz die Bedingung: 
i 
(15 a ) lim ,_>i + .-. + vp < a, d. h. <1. 
n + ■ • • + v p = oo r 
Da andererseits die Divergenz offenbar schon gesichert 
ist, wenn : 
i 
(15 b ) lim (a Vl . . . „ Jv t + . . . + v p > 1 , 
»1 4- . . . + Vp = X 
so ergibt sich auf diese Weise wiederum das für die Theorie 
der Potenzreihen mit p Veränderlichen grundlegende Analogon 
zum Cauchyschen Fundamental-Kriterien erster Art. 
Setzt man noch in (I“): Gx = V+e (wo q > 0), in (F): 
Di = A, so erhält man als Anfangs-Kriterium einer in be- 
kannter Weise beliebig weit fortsetzbaren Skala (s. (6 a ), (6 b )): 
Konvergenz, wenn: 
(16*) 
lim 
n 4- . . . 4- v ? 
+ 
V 
W 8 
II 
b v p )r+e • a Vi 
Divergenz, wenn: 
( 16 b ) 
lim 
*i> • - v p = 
(d + • 
r oo 
■ • + Vp) P * «v, . . . 
’> > o. 
Ebenso aus (II“) durch die Substitution Ci = (ü -J- l)H-f> ; 
Konvergenz, wenn: 
(17) lim ((v, + l)(v 2 -l-l)...(vp-(-l))'+e.a <oo. 
V) 4- • • • + Vp = X ‘ 
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