A. Rosenthal: Zur Theorie der gleichflächigen Polyeder. 
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Also sind die möglichen Typen der Außenflächen zu bestimmen. 
Ich nenne dabei Polyeder von demselben Typus „isophän“, 
von verschiedenem Typus „allophän“. 1 ) Man muß, von den 
Zellachsenpunkten ausgehend, vor allem feststellen, welche 
Zellformen sich schneiden, welche nicht. Mit Hilfe dieser Unter- 
suchung lassen sich dann in systematischer Weise aus den 
Typen (m — l) ten Grades die sämtlichen Typen m ten Grades ab- 
leiten und sodann die Existenzbereiche der neuen Typen auf- 
stellen. Zugleich kann man angeben, welche Zellformen an der 
Bildung der Außenfläche jedesmal beteiligt sind, welche ver- 
deckt sein können. Hieraus endlich ergibt sich ohne weiteres 
die Anzahl der isophänen Polyeder des betreffenden Typus, 
nämlich 2 r , wenn r die Zahl der möglicherweise von der Außen- 
fläche verdeckten Zellformen ist. 
Sodann werden alle konvexen Polyeder bestimmt. Man 
findet: Damit ein gleichflächiges Polyeder nur konvexe Flächen- 
winkel besitze, muß seine Begrenzungsfläche ein geschlossenes 
Polygon sein, in dessen Innern sich der Berührungspunkt H 
der einbeschriebenen Kugel befindet, und bei dessen Umlaufung 
der Punkt H immer auf der gleichen Seite der Kanten gelegen 
ist. Mit Hilfe dieses Satzes läßt sich dann eine Methode auf- 
stellen, um aus den Symbolen der konvexen Polyeder (m — l) ter 
Art alle konvexen Polyeder m teT Art abzuleiten, und zwar so, 
daß die neugefundenen Polyeder sofort in der natürlichen Zahlen- 
folge ihrer Symbole, also in lexikographischer Anordnung, sich 
ergeben. Aus den Symbolen kann man sogleich ersehen, welche 
Zellformen die Außenfläche bilden, welche verdeckt werden, 
also welchem allophänen Typus der Körper angehört. Ferner 
läßt sich aus der Begrenzungsfläche ohne weiteres die Art der 
körperlichen Ecken ablesen. Außerdem wird immer angegeben, 
wann die Beffrenzuno-sfläche selbst konvex ist. 
Auf Grund von Symmetriebetrachtungen werden ferner die 
konzentrischen Anordnungen von Vielflachen, d. h. die zerfal- 
lenden Polyeder, bestimmt. Endlich werden durch Einführung 
') Die Typen können in Gruppen zusammengefaßt werden nach ihrem 
Grade, d. i. nach der Zahl der Zellformen, welche die Außenfläche bilden. 
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