0. Perron: Über den Stolzsehen Irrationalitätssatz. 
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( 21 ) 
so ist: 
(1 für i = Je 
A {k) = 
' \ 0 für i $ Je 
(i, k = 0, 1, . . . »), 
AV 
(22) af = ag» lim ^ (i = 1, 2, . . . rc). 1 ) 
V= CO -^*-Q 
Da die aW und folglich auch positiv sind, so ist 
gewiß a|. 0) > 0. In ganz entsprechender Weise sind die aÜ 1 
zu definieren, und daher ist auch a l Ü > 0 für alle X. Man 
l 
kann aber gleich noch mehr beweisen. Aus der ersten der 
Gleichungen (19) folgt nämlich wegen der Voraussetzung (16): 
a® > a^ 1 > ; also a^ ] < 
Da dies für alle X gilt, so ist auch: 
a a+D < 0 CH-i) f 
und aus (19) und (16) folgt dann weiter: 
oV+P af+n 
a« = af 1 0 ^ 1 1 
4 . v < a U) _L 
' a a+i> ^ a 2 + a , 
a+D 
= a 
w 
2 • 
Dies gilt wiederum für alle X; folglich ist auch 
a a+n < a O+i) t 
so daß aus (19) und (16) ferner sich ergibt: 
a a+n 
Q« = a ai 4 - 1 < a a) 4- 
U 2 “2 I q (A+1) 3 < Q 
aü+» 
= nO) 
a+n 
So fortschließend gewinnt man die Reihe von Unglei- 
chungen: 
(23) 0 < < af <a«<--.< af (X = 0, 1, 2, . . .). 
Die Zahlen a ( . 0) drücken sich durch a (A1 aus mittels der 
t t 
Formeln (Jacobi-Ketten, pag. 414, Formel 15): 
*) Über die hier vorkommenden Begriffsl)ildungen siehe „Jacobi- 
Ketten“, § 1. Die Konvergenz unter den obigen Voraussetzungen, d. h. 
die Existenz der Grenzwerte (22), folgt aus „Grundlagen“, pag. 12, Satz II. 
