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über einige funktionentheoretische Anwendungen 
der Eulerschen Reihen-Transformation. 
Von Alfred Pringslieim. 
Vorgetragen in der Sitzung vom 2. Dezember 1911. 
Bekanntlich hat Euler in dem ,De transformatione 
serierum“ überschriebenen Kapitel seiner Differentialrecb- 
nuncrM sich der Transformation x = - ^ bedient, um eine 
Poteuzreihe üa^x'' insbesondere auch für Divergenz -Stellen x 
zu , summieren“, ^n'äziser gesagt, in eine andere Reibe zu 
transformieren, welche nach heutiger Ausdrucksweise die ana- 
lytische Fortsetzung der ursprünglichen darstellt ^). In der Tat 
erweist sich die fragliche Transformation in einer Anzahl 
zwar verhältnismäßig spezieller, jedoch besonders wichtiger 
und markanter Fälle als ein überaus einfaches und wirksames 
Hilfsmittel, um die analytische Fortsetzung einer Potenzreihe 
zu studieren, zumal wenn man statt der oben angegebenen die 
(im folgenden ebenfalls schlechthin als , Euler sehe“ Trans- 
s v 
formation bezeichnete) etwas allgemeinere Form x = 
Grunde legt, unter s eine beliebige Konstante bzw. einen ver- 
änderlichen Parameter verstanden. Auf den Nutzen dieser 
Methode habe ich bereits vor einer längeren Reihe von Jahren 
aufmerksam gemacht^), veröffentlichte jedoch damals lediglich 
aus einer ganz bestimmten Veranlassung ein auf diese letztere 
Institutiones calcnli differentialis. Pars posterior, Caput I. (In 
der Petersburger Ausgabe von 1755, p. 281 fl“.) 
Die Eulerschen Schlüsse lassen sich, auch bei Beschränkung 
von X auf das reelle Gebiet und ohne Benützung des Begriffes der 
analytischen Fortsetzung, dm-ch Herstellung eines passenden Rest- 
gliedes legitimieren; s. Poncelet, Journ. f. Math. 13 (1835), p. 1 ff. 
») Math. Ann. 50 (1898), p. 458. 
