Eulersche Reihen-Transformation. 
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§ 1 - 
Der Konvergenzbereich der Eulerschen Transformation. 
1. Es besitze die Potenzreihe 
CO 
( 1 ) f{x) = '^va„x'' 
0 
einen endlichen Konvergenzradius, welcher ja dann ohne 
wesentliche Beschränkung = 1 angenommen werden kann. 
Ferner werde mit s eine von 0 verschiedene, im übrigen ganz 
beliebig zu denkende komplexe Zahl bezeichnet und eine neue 
Variable durch die Substitution eingeführt: 
X 
(2) X = , also : z = 
^ ^ 1 ^ 
so daß also aus (1) resultiert: 
s — X 
CO “ /I \ ’■+' 
(3) m = =(l + c:)- . 
Diese Reihe konvergiert in der vorliegenden Anordnung 
dann und nur dann, wenn : 
I 
( 4 ) 
1 , also : I ~ — k 1 j ^ i ® I > 
1+^1 
und die letztere Beziehung ist offenbar a fortiori erfüllt, wenn: 
1 
( 5 ) 
1 > I s i , d. h. ; .s' I < 
also für alle ^ im Innern eines Kreises um 0 = 0 mit dem 
0 Hätte die Reihe (1) statt des Konvergenzradius 1 den Konver- 
genzradius E, so würden an die Stelle der Ungleichungen (4) und (5) 
die folgenden treten : 
s 
X 
E-^ 
1 sz 
E 
j E +Ez 
1 + z 
E 
E + 
und alle weiteren Schlüsse bleiben bis auf die hieraus erwachsende 
Modifikation unverändert. 
