Eulersche Reihen-Transformation. 
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bar das gleiche für f fils Funktion von z in dem ent- 
sprechenden Punkte : 
Vs — = 1+ s| 
S I 
Dann muß aber der wahre Konvergenzbereich der Reihe 
S A), (s) • z'-^ der sich ja bis zu einem Grenzpunkte des Regu- 
laritätsbereiches von zu erstrecken hätte, einen Ra- 
VI 4- 
dius besitzen, der größer als — — ist. 
1 s 
Hieraus gewinnt man mit Rücksicht auf die Beziehung (10) 
unmittelbar das folgende wichtige Ergebnis : 
Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß 
g 
der Punkt x = — - ein singulärer für civX'’ ist, lautet: 
S I 
(13) 
lim l/|H;.(s)| = 1 -f I s I 
Und, wenn man speziell s = — e'' * setzt : 
Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, 
daß der Punkt x = e'f' ein singulärer für '^UyX’’ ist, 
besteht in der Beziehung: 
(14) lim V AiX— e'i'') | 
A = Oö 
: 
lim ZJ»- (z),. a„ e*’’”’ 
/. = (Xi\ 0 
= 2 . 
Ist nun Q > -j — — ^ — j , aber immerhin noch < 1 , so tritt 
-L I S I 
an die Stelle des Kreises (c, r) ein Kreis (c% r‘) mit den Be- 
stimmungsstücken : 
(15) 
und der oben mit h bezeichnete Schnittpunkt rückt auf dem 
Strahle Os nach derjenigen Stelle b‘, welche bestimmt wird 
durch die Beziehung : 
