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A. Pnn».sheim 
eine singuläre sein muß. Da aber schon auf dem Einheits- 
kreise, als dem wahren Konvergenzbereiche der Reihe 
mindestens eine singuläre Stelle liegen muß, so ist das Ein- 
treten dieses Falles nur möglich, wenn s selbst der Peripherie 
des Einheitskreises angehört; mit anderen Worten, die Bezie- 
hung (20) kann, wenn überhaupt, nur dann zustande kommen, 
falls 5 = ef' ist. Weiter unten wird gezeigt werden, daß sie 
bei ganz bestimmter Beschaffenheit der auch wirklich statt- 
findet. 
3. Als Hauptresultat der vorstehenden Betrachtung ergibt 
sich also, daß die aus der Reihe durch eine Euler- 
0 
sehe Transformation hervorgehende Reihe 
einen durch die Beziehung 
— I 
a; 
s — x 
charakterisierten, stets also den Punkt a; = 0 im Innern ent- 
haltenden Konvergenzbereich besitzt, der durch einen — in 
gewissen Grenzfällen (s. Gl. (18), (20)) in eine unbegrenzte Ge- 
rade bzw. einen Punkt ausartenden — Kreis begrenzt wird 
und der, sofern nur jene Zahl q das ihr zustehende Minimum 
, — ^ überschreitet, über den ursprünorlichen Konvergenz- 
kreis x = 1 der Reihe ^a,,x'' allemal hinausragt, für 
p^l sich sogar ins Unendliche erstreckt. Da die betref- 
fende Reihe in jedem innerhalb ihres Konvergenzbereiches lie- 
genden abgeschlossenen Bereiche ihrer Xatur nach stets gleich- 
mäßig konvergiert, so liefert sie also eine analytische Fort- 
setzung von gerade .so, Avie die Transformation von 
'^ciyX'’ in eine , abgeleitete *■ Potenzreihe (Taylorsche Formel), 
von welcher die vorliegende Methode unter geeigneten Um- 
ständen merkliche Vorteile bietet: einmal, weil jeder der Koeffi- 
