Eulcisfhe Reiheii-Transibnualion. 
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zienteii (s) nur eine endliche Anzahl von Koeffizienten 
enthält (nämlich / 1) und infolgedessen einer Abschätzung 
des infinitären Verhaltens weniger Schwierigkeiten bereitet, als 
die stets alle enthaltenden Koeffizienten der Taylorschen 
Heihe; sodann aber, weil sich das Konvergenzgebiet eventuell 
ins Unendliche erstreckt (was ja bei der Transformation 
durch die Taylorsche Formel niemals eintreten kann). Selbst- 
verständlich wird es immerhin nur bei besonderer Verteilung 
der singulären Stellen möglich sein, durch geeignete Wahl bzw. 
Variation des Parameters s Entwickelungen zu gewinnen, deren 
Konvergenzbereich ein unendliches oder auch nur einigermalseu 
ansehnliches Gebiet der Ebene umfaßt. Und es bedarf wohl 
kaum der Bemerkung (welche ich lediglich im Hinblick auf 
eine später [§ 4] zu machende An^vendung nicht unterdrücken 
möchte), daß es im allgemeinen nicht möglich ist, durch 
irgend eine Wahl des Parameters s eine beliebig angenommene 
Stelle Xq dem Innern oder auch nur der Grenze des Konver- 
genzbereiches einzuverleiben. Man überzeugt sich leicht, daß 
es schon in Fällen äußerst einfacher Art (z. B. wenn der Ein- 
heitskreis drei oder mehr ungefähr äquidistante singuläre Stellen 
enthält) ausgeschlo.ssen erscheint, eine EulerscheTransformation 
herzustellen, deren (ja allemal die Stelle a; = 0 im Innern ent- 
haltender) Konvergenzkreis auch nur so weit reicht, wie der- 
jenige einer passend gewählten Taylorschen Entwickelung. 
Dagegen wird sich der Nutzen der Eul ersehen Transformation 
insbesondere dann bewähren, wenn die Singularitäten der Reihe 
'^ttyX'’ und ihrer analytischen Fortsetzung durchweg in einer 
den Punkt x —0 ausschließenden Halbebene liegen. Hierhin 
gehören die in den beiden folgenden Pai'agraphen behandelten, 
besonders einfachen und prägnanten Fälle. 
