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A. l’ringslieim 
Eindeutige Funktionen mit einer einzigen Singularität bzw. einer 
endlichen Anzahl singulärer Stellen. 
1. Eine Potenzreihe von der Form 
(21) f^(x) = ±rv>--.x'’ (x = 0, 1, 2, ...) 
1 
besitzt den Konvergenzradius j a; = 1 und definiert, wie leicht 
erkannt wird, eine rationale Funktion mit dem Nenner 
(1 — a:)’'+h Denn man hat zunächst: 
und sodann : 
fx {x) = x- Df^{x), t\ {x) = x- Df, (x) usf., 
so dali also /« (a;) durch x - malige Anwendung der Operation 
X • Djc aus /o ix) entsteht, woraus sofort die Richtigkeit der 
obigen Behauptung hervorgeht. 
Für unsere weiteren Schlüsse erscheint es indessen erforder- 
lich, die Form der rationalen Funktion f>,{x) genauer festzu- 
stellen, was sich mit Hilfe der Euler sehen Transformation 
leicht bewerkstelligen läßt. Dabei erscheint es auf Grund der 
zuvor gemachten Bemerkung über den Charakter von f>,{x) 
von vornherein angezeigt, den Parameter s = 1 zu wählen. 
Setzt man die vorgelegte Potenzreihe in die Form: 
fy. (x) = X ■ V’'- ■ x''~^ = a; • 2 »' (»’ -p 1)’* • a:’’, 
1 0 
so findet man durch Anw'endung der Formeln (7) und (8) 
00 
(p. 16, 17) auf die Reihe XI’’ (>’ -p l)*" • a:’’: 
0 
( 22 ) 
wo : 
(23) HM 
fxix) = 
u 
HM (1 ) = ( — !)>' . (.1),, . (v -p !)>< (speziell : HM = l). 
