Eulersche Reihen-Transformation. 
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Beweis. Ist für irgend ein bestimmtes > 0 die Reihe 
CO J 1 
\iypy • i 1 
1 Vv I 
konvergent, so gilt bei jedem endlichen Werte von y das gleiche 
für die Reihe: 
flC 
IL 
yy 
m-t- 1 
so dah die Annahme m,. > m der gemachten Aussage genügt. 
Ist die obige Voraussetzung nicht erfüllt, so läht sich, 
wegen lim = co , zu jedem noch so groben r > 0 eine 
V= 00 
natürliche Zahl n so fixieren, daß: 
(32) 1 — < ^ für: y <.r, }'>w. 
yy\ e ' - 
Bedeutet dann irgend eine konvergente Reihe mit 
2 )Ositiven Gliedern, so folgt aus den vorstehenden Ungleichungen, 
daß die fragliche Reihe für \y\^T (gleichmäßig) konvergiert, 
wenn die my so bestimmt werden, daß: 
d. h. 
(33) 
1\ ”V+' 
e) 
< Cy\ 
niy + 1 > IgU,. -f IgPy. 
Hiermit wäre der Existenzbeweis von Zahlen nt,, der 
verlangten Art in einer für den hier vorliegenden Zweck voll- 
ständig ausi-eichenden Weise geliefert. Doch möchte ich, so- 
fern es sich um eine wirkliche Bestimmung solcher Zahlen niy 
handeln sollte, noch folgendes hinzufügen. 
W eierstraß durch eine entsprechende Anzahl verschieden bezeich- 
neter, aber gleichgeltender einfacher Linearfaktoren in Rechnung 
stellen will. Denn es liegt ja keinerlei Grund vor, den Fall auszu- 
schließen, daß die Multiplizität der Nullstellen mit dem Index über alle 
Grenzen wächst. (Dies ist zuweilen übersehen worden — s. z. 15. Ri er- 
mann, Theorie der analytischen Funktionen [1877], p. 309.) 
