Eulersclie Keihen-Tninsformation. 
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Beweis. Wir beweisen zunächst die Notwendigkeit 
der fraglichen Bedingung. Sei also 
oc f X 
( 46 ) = 
eine beständig (d. h. mit Ausschluß von x = \) konvergierende 
00 
Reihe, ihre Entwickelung in der Umgebung von a; = 0, 
so ist also zu zeigen, daß eine dem Minimaltypus der Ord- 
nung 1 angehörende ganze Funktion g{ij) existiert, derart 
daß g{r) — üy. 
Entwickelt man, um zunächst die Form der Koeffizienten üy 
zu bestimmen, jedes Glied von G{x) nach Potenzen von x, so 
ergibt sich (vgl. mutatis mutandis Gleichung (6), p. 16): 
=== h- h f:- (>')/. • ^’’+' 
0 0 0 /. ■ 
falls f/(i/) von niederer Ordnung als der ersten, auf dem Einheits- 
kreise lediglich die singuläre Stelle x = 1 besitzt (Journ. de Math. (5), 
5 [1899], p. 388). HeiT Faber hat diese Aussage dahin präzisiert, daß 
die durch jene Reihe definierte analytische Funktion überhaupt nur 
die (sc. wesentlich) singuläre Stelle x = 1 besitzt (Math. Ann. 57 [1903], 
p. 374) und hat insbesondere auch die Umkehrbarkeit des betreffen- 
den Satzes nachgewiesen (a. a. 0.) p. 378). Mit diesem letzteren Beweise 
stimmt der im Texte gegebene für die Notwendigkeit der in Frage 
kommenden Bedingung im wesentlichen übei'ein. Immerhin darf viel- 
leicht hervorgehoben werden, daß der betreffende Beweisansatz, der bei 
Herrn Faber mehr wie ein sehr sinnreicher und glücklicher Kunstgriff 
erscheint, in dem vorliegenden Zusammenhänge sich mit einer gewissen 
logischen Notwendigkeit ganz von selbst ergibt. Andererseits dürfte 
der im Texte gegebene Beweis für den hinreichenden Charakter der 
fraglichen Bedingung noch etwas einfacher sein, als der entsprechende 
Fabersche und besitzt außerdem den Vorzug, daß er zugleich einen 
cc 
expliziten Ausdruck für die ganze transzendente Funktion von 
1 
mit dem Anfangs-Element ^ fif (0 • U liefert. 
