Eulersche Reihen-Transformation. 
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und daher nach Gleichung (27), p. 25^): 
00 
I 1 < U" n • £" = (e^ — l)s 
f. 
also zunächst : 
?. 
lim ]/\ Ä/,\ ^ — 1 
A = GO 
und, da es freisteht e unbegrenzt zu verkleinern, schließlich : 
(55) lim l,/ Äx = 0. 
A = 00 
Somit ist die durch die Eulersche Transformation aus 
'^'’g{r)-x'' hervorgegangene Reihe Ä). 
I 1 
X Y 
1 — x) 
eine 
ganze transzendente F unktion von , womit der ausge- 
1 “ oc 
sprochene Satz nunmehr bewiesen ist. 
7. Auch wenn die Koeffizienten der Reihe ■ x'’ nicht 
höchstens dem Minimaltypus, sondern einem Typus > 0 der 
ersten Ordnung angehören, lassen sich gewisse Aussagen über 
die Singularitäten der durch jene Reihe definierten analytischen 
Funktion machen. Dabei mag noch vorausgesetzt werden, 
V 
daß die Beziehung lim ]/ g(i’) — 1 stattfindet, also die Reihe 
V rroo 
• X'' wieder den Konvergenzradius 1 besitzt. (NB. Das 
letztere würde nämlich aus der bloßen Zugehörigkeit von g{y) 
zum Typus y der ersten Ordnung noch nicht folgen : denn aus 
V 
I (jr(v) I < ließe sich nur schließen, daß lim 1/ g{v)\'^e'^ . 
y =:(X> 
y 
Andererseits kann sehr wohl lim g{v) = 1 sein, ohne daß 
V = 00 
Man könnte auch statt (27) die Ungleichung (29), p. 26 benützen. 
Dann ergibt sich : 
; -“l;. I < c(c - !)'■ s’'- = ((e — De)'- 
usw. 
