48 
A. J*ringsheim 
/' / 1 \ 
fix) — ) ini Endlichen durchweg regulär und 
somit eine ganze Funktion G{x) (eventuell eine Konstante) 
ist, d. h. man hat; 
Da sodann 6r, 
■ 
\x — a^J 
G{x). 
in der Uingfebungr von x = 0 eine 
£)■ 
gy. (r) • x'\ G (x) eine 
Entwickelung von der Form Xj I 
solche von der Form 
'^a',.x'‘ (wo lim o,'. | = 0 ) 
' V= CD / 
besitzt, so ergibt sich, dalä die Koeffizienten der Entwickelung 
CO 
fa{x) = ^yayX''^) die Form haben: 
1 
(57 a) a, = •//«(>’) + a'y 
X 
Umgekehrt definiert eine Potenzreihe deren Koeffi- 
1 
zienten sich in diese Form setzen lassen-), eine in der ganzen 
Ebene eindeutige und bis auf die p singulären Stellen x = 
y. =], 2, ... p) und eventuell®) x = co reguläre Funktion. 
Ist nun fbix) eine Funktion derselben Art mit den singu- 
lären Stellen ß>. (/ = 1, 2, ... q), zu denen eventuell noch 
X = CO hinzutreten kann, so hat man, wenn gesetzt wird: 
X 
fb (a:) = 1 j>' by x'\ analog : 
1 
(57 b) hy = • h. (>’) + K ^wo : lim I | 1 = 0^ ’ 
Es ist offenbar keine Beschränkung der Allgemeinheit, wenn wir 
(0) = 0 annehmen. 
2) Dabei ist natürlich unter g.^ (y) allemal eine rationale oder 
höchstens dem Minimaltypus der Ordnung 1 angehörende transzendente 
g-anze Funktion zu verstehen. 
®) n. h. wenn die n', nicht s.äiiitlich Null sind. 
