Eulersche Reiben-Transformation. 
49 
unter hfXy) ganze Funktionen derselben Art, wie die 
verstanden. 
Alsdann lassen sich aber auch über den Charakter und 
die Singularitäten derjenigen Funktion F{x), welche definiert 
ist durch das Funktions-Element : 
(58) 
F{x) = 
1 
ganz bestimmte Aussagen machen. Man hat zunächst: 
(59) 
9 
L' 
(/x (>') • h ()’) -f d 
wo : 
Da nun jedes der Produkte ffxid ‘ wieder eine ganze 
Funktion ist, und zwar eine rationale vom Grade wenn 
gxiy) eine solche vom Grade hi{y) vom Grade W;., dagegen 
in jedem anderen Falle eine transzendente, die höchstens 
dem Minimaltypus der Ordnung 1 angehört; da ferner d offen- 
V 
bar der Relation lim l/| c,, | = 0 genügt, so folgt, daß F{x) 
V=QO 
eine eindeutige Funktion ist, welche im Endlichen keine andere 
singulären Stellen besitzen kann, als solche von der Form 
X — a^ßx- Und zwar wird irgend eine bestimmte dieser Stellen, 
z. B. a^ß^, allemal wirklich eine singuläre sein, wenn für 
keine andere der Stellen ay_ßx die Gleichung a^ßx = a, er- 
füllt ist. Sollte dies nämlich der Fall sein, so ist es möglich 
(aber keineswegs notwendig), daß die von den Bestandteilen 
00 
der Reihe b,, x” herrührenden Singularitäten sich gegenseitig 
1 
aufheben. Zugleich erkennt man, daß die Stelle a^ß^ ein 
Pol von der Ordnung -[- w -p 1, wenn a, und ß^ Pole von 
Sitzungab. d. matli.-))liy.s. Kl, Jubrg. 1912. 4 
