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A. Pringsheitn 
der 1 »*®" bzw. w*®" Ordnung sind^); daß dagegen eine 
wesentlich singuläre Stelle, wenn mindestens eine der 
Stellen Oj, ß^ diesen Charakter besitzt. 
Man findet auf diese Weise den folgenden besonderen Fall 
eines weiter unten (s. § 4) noch unter allgemeineren Voraus- 
setzungen zu erörternden Hadamar dschen Satzes: 
Werden durch die Funhtions - Elemente 
'^hyX'’ sicei eindeutige Funldionen definiert, deren jede 
im Endlichen nur eine endliche Anzahl singulärer Stellen 
a.y_ l)zw. ßi besitzt, so definiert auch die Fotenzreihe 
'^ayhyX” eine eindeutige Funlction, deren singidüre 
Stellen ausschließlich von der Form a,,ßx sind. Dabei 
ist ay_ßi ein Pol, nenn beide Stellen a.y und ß>. Pole 
sind, andernfalls eine tcesentlich singidüre Stelle ; hann 
jedoch eine Stelle regulären Verhaltens sein, nenn für 
irgend ein Wertepaar x', die Beziehung stnttfindet: 
Oy- ß?.‘ = a.yßx. 
§ 3. 
Funktionen, welche in der Ebene mit dem geradlinigen Schnitte 
(1 . . . + cc) regulär sind. 
1. Definiert die Reihe lja,,a:’'eine analytische Funktion f{x), 
welche in der längs cc) zerschnittenen Ebene regulär 
ist, so folgt aus den Betrachtungen des § 1, daß f{x) in jeder 
den Nullpunkt enthaltenden Halbebene, welche von einer durch 
den Punkt 1 gehenden Geraden begrenzt wird, mit Hilfe der 
Eulerschen Transformation dargestellt werden kann. Wir 
fanden nun früher die Beziehung (Gl. (18), p. 21) 
_ 
lim 1 ' ’ A;_(s) = 1 
/= 30 
b Eine Annullierung des Polesa,/?i ist natürlich nur dann mög- 
lich, wenn für irgend ein anderes Wertepaar x, außer der Beziehung 
= ai /?( auch noch feststeht, daß a^, ß} gleichfalls Pole, und daß 
überdies: — '« + », wenn und -i“ 1 deren Ordnungs- 
zahlen bezeichnen. 
