Eulersche Reihen-Transformation. 
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als notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß 
regulär fortsetzbar ist über eine den Nullpunkt enthaltende 
Halbebene, deren Begrenzung eine auf der Strecke Os im Mittel- 
punkte senkrechte Gerade bildet. Diese letztere muß anderer- 
seits den Einheitskreis schneiden, im äußersten Palle ihn be- 
rühren, da ja keinesfalls der Einheitskreis als wahrer Kon- 
vergenzbereich der Reihe ganz in das Innere jener 
Halbebene fallen kann. Soll die Grenzgerade durch den Punkt 1 
gehen, also Os durch eine vom Punkte 1 aus gefällte Senk- 
rechte bzw., wenn s reell, im Punkte 1 halbiert werden, so 
hat man offenbar js — 1 =1, also; 
Q ^ . 
(60) s = 1 -p e’’* = 2 cos — • . 
dt 
Ist sodann die oben angeführte Bedingung erfüllt für alle??' 
des Intervalls — tz < < -}- rr, so daß also jede durch den 
Punkt 1 gehende Gerade als Grenzlinie dienen kann (abgesehen 
von der reellen Achse, da ja die Wahl i? = + tt, also s = 0, 
bei der Euler sehen Transformation ausgeschlossen erscheint), 
so folgt, daß '^ayX'’ regulär fortsetzbar ist über die ganze 
Ebene mit Ansnahme der Strecke (1 . . . -p '^)- Da im übrigen 
Aa(s) für den ausgeschlossenen Werts = 0 sich auf das einzige 
Glied üq reduziert und demgemäß die Bedingung 
/i 
lim V \ Al (s) 1 = 1 
in diesem Falle an und für sich erfüllt ist, so kann man das 
Resultat der vorstehenden Betrachtung in folgender Weise 
aussprechen : 
Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, 
00 
daß '^'’üyX'’ regulär fortsetzbar ist über die ganze Ebene 
0 
mit Ausnahme des geradlinigen Schnittes (1 . . . -p c»), 
besteht in der Beziehung: 
(61) lim 
00 
(_!)’'. ( 2 ), 2 ”/“^ 
0 
i( , 
l cos 2 ) • «>• =1 
für — 71 d 71. 
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