Eulersche Keihen-Transfonuation. 
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Da aber /’„ (x) = ^ nur die singuläre Stelle x = 1 besitzt, 
so erkennt man, daß keine anderen Singularitäten haben 
kann, als die Stellen 0, 1, oo. Von diesen scheidet die Stelle 
a; = 0 zunächst aus, sobald man f>t(x) lediglich in der längs 
(1 . . . -f- oo) zerschnittenen Ebene betrachtet und kommt erst 
als singuläre Stelle zum Vorschein, wenn man f>.{x) über den 
Schnitt fortsetzt ^). 
3. Das zuletzt entwickelte Resultat läßt sich ohne weiteres 
auf den Fall übertragen, daß an die Stelle der Koeffizienten 
IH 
(»' — a)~^ Polynome von der Form treten. 
0 
Zur Ausdehnung auf den noch allgemeineren Fall, daß jene 
ec 
Koeffizienten Potenzreihen von der Form '^xCy.{y — ay- 
0 
sind, müßten offenbar noch andere Hilfsmittel herangezogen 
werden. Dagegen läßt sich mit Hilfe der Eulerschen Trans- 
formation leicht zeigen, daß auch unter der ebengenannten 
allgemeineren Voraussetzung eine Funktion erzeugt wird, die 
in der längs (1 . . . -p oc) zerschnittenen Ebene regulär ist. 
Angenommen, es sei die Potenzreihe 
(72) ^(y) = £;-c^r 
konvergent für ! ?/ [ < r, und es bedeute wiederum a eine ganz 
beliebige Zahl mit Ausschluß der ganzen positiven, 2^ 
natürliche Zahl von der Beschaffenheit, daß 
v>p, so daß also 
< r für 
') Dies gilt, sobald « von Null verschieden, schon für fi(x). Für 
a = 0 hat man, wenn das Zeichen lg den Fundamentalwert des Logarith- 
mus bedeutet : 
fi{x) = lg 
so daß fi(x) nur die singulären Stellen 1 und oo besitzt; während /afa;), 
wegen ^ • A(^)> auch die singuläre Stelle x = 0 hat, was dann 
offenbar auch für y(x) bei y. > 2 der Fall ist. 
