Eulersche Reihen-Transformation. 
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A;, (s) = j* V (0 • 1 y ~'' (/),• s” t'’ ■ dt 
0 0 
= (— \y ■ t‘'{i — st)'- ■ dt. 
ü 
Wird wiederum s = 1 -|- e'’* angenommen, so hat man 
(s. p. 53, Gleichung (66)) : 
und daher: 
(79) 
1 — s^|< 1 für: 0 <^ < 1 
Al (s) I < j W (0 \-t‘‘ • dt, 
also unter einer von / und d unabhänorioren Schranke bleibend, 
woraus dann wieder die Richtigkeit der ausgesprochenen Be- 
hauptung unmittelbar hervorgeht. Zugleich besteht für jede 
den Schnitt (1 . . . -|- <^) nicht enthaltende Halbebene eine 
die betreffende Funktion darstellende Reihenentwickelung nach 
X 
positiven ganzen Potenzen ^on ^ . 
Beispiel 1. Der vorstehende Satz gestattet zunächst 
die folgende Verallgemeinerung des in Xr. 2 und 3 dieses 
o o o 
Paragraphen abgeleiteten Resultats. Bedeutet /i und;' belie- 
bige positive oder auch komplexe Zahlen mit wesentlich 
positivem reellen Teil, so hat man bekanntlich: 
P = m i"'"' • •‘'“ = -/('«Ty 
0 0 
wenn für die verschiedenen in dieser Relation auftretenden 
Potenzen durchweg die Hauptwerte gelten. Wird jetzt wieder- 
um a beliebig komplex, p positiv ganzzahlig (eventuell auch = 0) 
und mindestens so groß angenommen, daß der reelle Teil von 
p — a positiv ausfällt, so folgt: 
1 
(80) 
{pA-v 
r-a)/* r{ß)}\^t) 
