Eulersche Reihen-Transformation. 
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Für jede.s nicht der Strecke (1 . . . angehörige x 
besitzt 1 — tx für alle t des Intervalls 0 ^ ^ < 1 ein bestimm- 
tes von 0 verschiedenes Minimum ^x’), und es existiert somit 
zu jedem solchen x eine bestimmte Umgebung [ | < Ox, für 
welche eine Reihenentwickelung von der angegebenen Form 
besteht. Daraus folgt aber weiter, daß für h' < Ox*. 
J '/’ (0 
■tP - 
0 
dt 
1 — t {x -|- li) 
t'-^p ■ dt 
(1 — tx)^-+' 
es stellt mithin das Integral 
tP • dt 
1 — tx 
eine 
in dem be- 
0 
haupteten Umfange reguläre analytische Funktion vor, welche 
infolge der für \X <1 bestehenden Beziehung (82) die ana- 
lytische Fortsetzung von liefert. 
0 
Zugleich ist bei dieser Beweismethode ersichtlich, daß man 
den geradlinigen Schnitt (1 . . . -j- oo) eliminieren kann, wenn 
man ^p(t) noch der Beschränkung unterwirft, zum mindesten 
für eine gewis.se Xachbarschaft der Strecke (1 . . . -j- Qo) eine 
analytische Funktion von t zu sein, und wenn man sodann 
das betreffende Integral über einen komplexen Weg (der im 
übrigen nur beliebig wenig von der geradlinigen Strecke 
(0 . . . 1) abzuweichen braucht) von 0 bis 1 erstreckt^). Daraus 
folgt dann, daß in Wahrheit nur die Punkte 1 und co .sin- 
guläre sind. 
1) Ist X nicht reell, so ist offenbar nichts anderes, als der senk- 
rechte Abstand des Strahles Ox vom Punkte 1. Ist x reell und zwar 
a; 0, so hat man = 1 , dagegen q. — 1 — x , wenn 0 <[ a; < 1. 
Ygl. Hadamard, a. a. 0., p. ICO. 
