P^ulersche Reihen-Transformation. 
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Mit Hilfe dieser Identität kann man nun zu demselben 
Ergebnis, wie durch die Euler sehe Transformation offenbar 
auch auf dem folgenden Wege gelangen. Durch Einführung 
der Darstellung.sform (85) für die Koeffizienten üy gewinnt 
man zunächst die Identität: 
(86) a. a:” = ( £;. (v), ■ Ä, (s) 
U 0^0 
und hieraus durch Vertauschung der Summationsfolge: 
(87) 
a,. X'- = Ax (s) • ()-);. 
0 0 
I oc 1 
Ersetzt man hier die innere, nur für - < 1 konversfie- 
's i ” 
rende Reihe durch den für } - ^ < 1 damit übereinstimmenden, 
^ 1 
im übrigen die analytische Fortsetzung jener Reihe bilden- 
den Ausdruck (s. Gleichung (84)) : 
1 
1 — 
, anders geschrieben : 
l f X 
/ 1!\5 
- ly. 
1 
s 
so ergibt sich : 
(88) '^y tty X' 
0 
, , . / ^ 1 1 
also genau dieselbe Beziehung, wie durch die Eulersche Trans- 
formation (s. Gleichung (83)). Zugleich stellt dann die rechte 
Seite dieser Gleichung offenbar die analytische Fortsetzung der 
linken dar, soweit sie gleichmäßig konvergiert. 
CO 
2. Es sei nun by x" eine zweite, etwa für | a; | < >•(, kon- 
0 
vergierende Potenzreihe, und es werde mit /i,(a;) sowohl deren 
Summe, als auch ihre analytische Fortsetzung bezeichnet. 
Man hat alsdann, wenn man für die zunächst wieder 
die identische Umformung (85) einführt: 
Sitzungsb. il. niatli.-pliy.s. KI. Jalirg. 1912. 
