Eulersche Reihen-Transformation. 
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3. Wir betrachten zunächst einen Fall, welcher in be- 
sonders einfacher Weise gestattet, den Bereich gleichmäßiger 
Konvergenz für die transformierte Reihe auf der rechten Seite 
von Gleichung (90) festzustellen. 
Angenommen nämlich, die analytische Funktion fa{x) mit 
00 
dem Anfangs-Element habe die einzige singuläre Stelle 
ü 
X = Nach den Ergebnissen von § 2, Nr. 2 (p. 24) und Nr. 6 
(p. 40) ist alsdann Uy — g (v), wo g (y) eine ganze rationale 
oder höchstens dem Minimaltypus der ersten Ordnung ungehörige 
ganze transzendente Funktion bezeichnet. Zugleich hat man : 
00 wiH“! 00 
^v^(v)a:” bzw. = Ä>X1) ■ 
je nachdem fa {x) im Punkte x = 1 einen Pol (m -p l)**'*' Ord- 
nung oder eine wesentlich singuläre Stelle besitzt. Im ersten 
dieser beiden Fälle reduziert sich die Beziehung (90) auf die 
folgende : 
(91) £.<,(,.) . b,x- =’S!. Ä, (1) ), /■«>(*) ■ 
welche sofort erkennen läßt, daß die analytische Funktion mit 
den Anfangs -Element '^g{}') •hyX" in jedem dem Existenz- 
bereiche von fh{x) ungehörigen endlichen Bereiche durch die 
rechts stehende Entwickelung daraestellt wird und daß sie im 
Endlichen die nämlichen Singularitäten besitzt, wie fbipc). 
Auch ist sie für x = oo noch regulär, wenn /'(,(ic) daselbst 
regulär ist. In diesem Falle wird nämlich (x^- • (^))a:=a> = 0 
für X — l, 2, 3 ... Somit erstreckt sich die analytische Fort- 
setzung von JJi g (v) • by x'’ über den ganzen Existenzbereich von 
fbix) und sie besitzt überhaupt keine anderen Singularitäten 
wie fb{x). 
Im zweiten Falle, wenn also x = 1 eine wesentlich singu- 
läre Stelle für nimmt die Relation (90) die Form an: 
(92) g („) .hyX^= ff) ix) • 
U IJ “ 
f)* 
