Eulersche Reihen-Transformation. 
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Hat die einzige singuläre Stelle o, so daß also 
0 
(s. § 2, Xr. 8, p. 47) a,, = • g (»-), und bezeichnet man die 
singulären Stellen von fi, {x) generell mit /?, so hat offenbar 
00 
die analytische Funktion mit dem Anfangs-Elemente h, x'’ 
0 
keine anderen ■singulären Stellen, als solche von der Form 
- = ß, also X = aß. Dieses Resultat läßt sich in ganz analoger 
Weise, wie in § 2, Xr. 8 geschehen (s. p. 49), auf den all- 
gemeineren Fall übertragen, in welchem vorausgesetzt wird, 
00 
daß das Anfangs-Element '^yOyX'' eine eindeutige Funktion 
0 
mit einer endlichen Anzahl von singuläi'en Stellen a^ (;i=l, 2, . . . 2^), 
eventuell noch mit der singuläi-en Stelle x — cc , definiert. 
Werden alsdann die singulären Stellen von fb {x) wieder ge- 
nerell mit ß bezeichnet, so besitzt die analytische Funktion 
CO 
mit dem Anfangs-Element '^•■ayhyX'' keine anderen singulären 
0 
Stellen, als solche von der Form a^ß. Dabei können spezielle 
Stellen a,, ß' wieder ihren singulären Charakter verlieren, falls 
eine Relation von der Form a,, ß' — o;. ß“ besteht (vgl. p. 49). 
4. Dias Ergebnis der vorigen Xummer legt die Vermutung 
000 O 
nahe, daß es möglich sein könnte, mit Hilfe der Darstellungs- 
formel (s. p. 66) 
(90) 
Oy hy X" = Ja Ax (s) • ff 
0 U 
auch den allgemeinen Hadamardschen Satz ^) über den 
OC CO 
Zusammenhang der Singularitäten von '^yüyhyX'' und UyX", 
l) u 
00 
'^ybyX'’ herzuleiten. In der Tat ist dieser Versuch auch von 
ü 
9 Theoreme sur les series entieres. Par. C. R. 124 (1897), p. 492; 
Acta math. 22 (1898), p. 55. 
