Eulersche Reihen-Transformation. 
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Bis hierher erscheint alles einwandfrei. Nun wird aber 
in folgender Weise weiter geschlossen. Die Beziehung (99) 
definiert (sc. für jedes einzelne s) den Konvergenzbereich der 
Reihe 
0 A. 
und läiät erkennen, daß die 
Stelle X = aß auf dieses Bereiches Grenze liegt, welche 
offenbar (vgl. § 1, Nr. 3, p. 20) stets ein (allenfalls in eine un- 
begrenzte Gerade ausartender)') Kreis ist^). Läßt man jetzt s 
innerhalb einer hinläno^lich klein crewählten Umofebun" des 
O O o O 
ursprünglich angenommenen Wertes stetig variieren, so wird 
auch jene Konvergenzgrenze eine durch die Relation (99) 
be.stimmte Änderung erleiden, immer aber den Punkt a ß ent- 
halten. Dieser Punkt a ß und im allgemeinen offenbar nur 
dieser eine Punkt ist allen auf die angegebene Art zum Vor- 
schein kommemden Konvergenzkreisen (eventuell Konvergenz- 
geraden) gemeinsam, er tritt also niemals in das Innere eines 
Konvergenzbereiches, ist somit eine singuläre Stelle für die 
betreflPende Funktion. Die singulären Stellen der letzteren sind 
daher ausschließlich (?) in der Form aß enthalten. 
Soll nun diese Schlußweise wirklich bindend erscheinen, 
so müßte doch daraus zu ersehen sein, daß jede dem Existenz- 
bereiche der betreffenden Funktion angehöriore und von allen 
möglichen aß verschiedene Stelle x bei passender Wahl von s 
auch allemal in einen der Konvergenzbereiche, wie sie durch 
die Beziehung (99) definiert werden, hineinfällt. Das ist aber 
im vorstehenden weder bewiesen noch auch (abgesehen von 
dem in der vorigen Nummer behandelten Spezialfalle) auf diesem 
Wege^) beweisbar, wie schon aus der folgenden Bemerkung 
') Nämlich, wenn: 
a 
s — a 
Den Konvergenzbereich bildet dann allemal derjenige Teil 
der Ebene, welcher den Punkt a:=0 enthält, dagegen den Punkt a; = syj 
ausschließt. 
®) D. h. natürlich auch ohne Zuhilfenahme des oben benützten 
Auskunftsmittels, die Funktion /"„(.r) von vornherein in eine Summe von 
Funktionen mit je einer einzigen Singularität zu zerlegen. 
