Eulersche Reihen-Transformation. 
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3. Die vorstehende Beziehung ist nun für jeden Wert 
von (p erfüllt, der Einheitskreis also eine singuläre Linie, 
wenn eine hinlänglich große Anzahl der Reihenkoeffizienten 
sich auf Null reduziert. Schreibt man die Reihe etwa in der 
00 
Form an: , wo Wj, . . . w,,, . . . eine unbegrenzte 
1 
Folge wachsender natürlicher Zahlen bedeutet, so tritt, wie 
leicht zu sehen, der ebenbezeichnete Fall insbesondere dann 
ein, wenn die niy so schnell wachsen, daß 
(109) 
lim 
rHy+^ 
niy 
niy 
>a. 
unter a eine beliebige positive Zahl verstanden. 
Alsdann bestehen nämlich zum mindesten von einer be- 
stimmten Stelle y.'>Tc 2 ih die Ungleichungen : 
O O 
m.y. — > a • my.—\ , also : — • my. '> »ix-i 
1 4- a 
My-pi — niy '> a • also : {\ -\- a) • m.y <i niyj^x . 
Setzt man jetzt in dem Ausdrucke (108) X = niy, so wird 
während im übrigen als kleinster und größter Koeffizienten- 
index die Zahlen 
(1 — d)- m.y und (1 -j- i?) • lUy 
auftreten. Wird nun ^ so gewählt, daß 
1 + a _ V 14- a)' 
so hat man um so mehr : 
1 4- I? < 1 4- a 
und daher : 
(1 — i9) niy > nfiy-\ (1 4" ■ 
Somit enthält in diesem Falle der Ausdruck (108) außer 
überhaupt keinen w^eiteren von Null verschiedenen Reihen- 
koeffizienten, und der betreffende Grenzvvert nimmt die Form an : 
G* 
