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A. Pringsheim 
ohne daß tp irgendwelcher Beschränkung unterworfen zu werden 
braucht. Somit hat jede der Bedingung (109) genügende Reihe 
CO 
a,n^ x'”y den Einheitskreis zur natürlichen Grenze ^). 
4. Das Ergebnis der vorigen Nummer soll nun zum Be- 
weise des folgenden, wesentlich allgemeineren Satzes dienen : 
Ist 
m 
lim 1/ ! a,„ \ = 1 und lim — = oo , 
I’ 00 V ~ <x> 
cc 
so hat die Reihe den Einheitskreis sur natiir- 
1 
liehen Grenze^). 
1) Zuerst von Herrn Hadamard bewiesen. Journ. de Math. (4), 
8, p. 116. 
In sehr viel komplizierterer, jedoch dem Umfange nach im 
wesentlichen übereinstimmender Formulierung zuerst von Herrn Fabry 
bewiesen. Ann. Iilc. Norm. (3), 13 (1896), p. 382; Acta math. 22 (1898), 
p. 86. — Herr Faber (Sitz. -Her. 34 [1904]) hat dafür einen merklich ein- 
facheren Beweis gegeben und schließlich den Satz in folgender Weise 
formuliert (Sitz.-Ber. 36 [1906], p. 581): „Bezeichnet man mit n{y) die 
Anzahl der nicht verschwindenden Koeffizienten, die zu Potenzen mit 
(v) 
Exponenten ^ v gehören, so ist die Beziehung lim = 0 eine hin- 
reichende Bedingung für die Nichtfortsetzbarkeit der Reihe.“ Dieser 
Satz erweist sieh in der Tat als vollkommen gleichwertig mit dem- 
jenigen des Textes, wenn man beachtet, daß «(r) die inverse Funktion 
zu der im Texte mit w,, bezeichneten darstellt und daß daher die 
Beziehungen 
n (r) . 
lim = 0 und lim — 
)' = oc r >■ = 3> r 
00 
äquivalent sind. Die von Herrn Faber für seinen Beweis benützte Ein' 
führung eines (nach Art eines sogenannten Diskontinuitäts-Faktors wirken- 
den) Faktors von der Form (/{v) wird auch bei dem von mir gegebenen 
Beweise verwendet, welcher im übrigen immerhin eine merkliche \ er- 
