Eulersche Reihen-Transformation. 
Beweis. Aus der Reihe der Zahlen ni.^, . . . m^, . . . 
werde eine Folge von Zahlen j?,, p^, ... py, ... so heraus- 
gehoben, daß 
(1 10) lim V\ lim ^ a > 0. 
V = CO V = O» 'Pi' 
Die alsdann übrig bleibende Folge der Zahlen w,. werde 
qi, q.^, ... qy, ... bezeichnet. 
Da zum mindesten (von einer bestimmten Stelle an) stets 
qy> niy, so folgt aus der Voraussetzung, daß auch 
r Qy 
lim — = 00 . 
;.z=» P 
® 1 
Infolgedessen ist die Reihe Ij” konvergent und das 
unendliche Produkt 
ai>) = 
stellt eine ganze transzendente Funktion dar, welche offenbar 
die Nullstellen y = +qy{v = 1, 2, 3, . . .) und nur diese besitzt. 
Wir werden nun zeigen, daß dieselbe dem Minimaltypus 
der Ordnung 1 angehört, daß sie also bei beliebig klein vor- 
geschriebenem £>0 einer Relation vön der Foi-m 
(112) I ö' (l/) I ^ ' etwa für : y \ > Be 
genügt, und daß andererseits für alle hinlänglich großen 
Werte von v: 
(113) \y(p,) > e-^-\Py\. 
Sobald die Richtigkeit dieser beiden Ungleichungen er- 
wiesen ist, lassen sich nämlich daran sofort die folgenden 
Schlüsse knüpfen. Setzt man in der ersten dieser Unglei- 
einfachung des Fab ersehen Beweises darstellen dürfte. Auch scheint 
mir die hier gegebene Fassung des Satzes begrifflich etwas einfacher 
und schon aus dem Grunde vorzuziehen, weil sie unmittelbar gestattet, 
die fragliche Reihe explizite (nämlich als Xj •'c”*’’) anzuschreiben. 
