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A. Pringsheim 
chungen y = Pv und > Ji, , so ergibt sich durch Kombination 
mit der zweiten Ungleichung, daß für alle hinlänglich großen 
Werte von v: 
Pr 
e-^ < V \g{i)r) I < e' 
und somit: 
Pr 
lim 1 'I (j{p,) 1 = 1, 
V= CO 
also auch : 
Pr 
lim ] ' g(Pr)-aj,^, = 1 . 
Da die der Ungleichung (1 10) genügen, so folgt aus 
dem Satze der vorigen Nummer, daß die Reihe 
X 
'^>y{Pr)-ap,x”"’ 
1 
den Einheitskreis zur natürlichen Grenze hat. 
Nun ist nach (111): g(qr) = 0, und es besteht daher die 
Identität: 
00 00 00 
'^''gip>) ■ = '^'giPr) • 4 - ^> 7 /( 2 , .) • 
1 1 1 
GO 
= ^rg{m,.) ■ a,n^x”'\ 
1 
so daß also auch gesagt werden kann, die letzte Reihe habe 
den Einheitskreis zur natürlichen Grenze. 
00 
Andererseits hat aber die Reihe einschließlich 
1 
ihrer analytischen Fortsetzung (die Richtigkeit der Unglei- 
chungen (112), (113) vorausgesetzt), nach dem Satze von p. 40, 
Nr. 6, die einzige singuläre Stelle x = l. Zugleich folgt 
dann aus dem p. 68 bewiesenen besonderen Falle des Hada- 
mardschen Satzes, daß die Reihe 
00 CD 
^.•2(>’) • arX'’ ^ 
1 1 
0 » 
keine anderen Singularitäten haben kann, wie 
1 
