Eulei'sclie Reihen-Transformation. 
87 
Da sie aber, wie zuvor bemerkt, die singuläre Linie x\ = l 
CD 
hat, so muß offenbar das gleiche schon für gelten. 
1 
Hiernach hängt der Beweis des ausgesprochenen Satzes 
nur noch einzig und allein von demjenigen der beiden Un- 
gleichungen (112) und (113) ab. Die erste derselben ließe sich 
leicht aus einer schon vor nahezu 30 Jahren von Herrn Poin- 
care gemachten Bemerkung^) folgern, die im übrigen nur 
einen speziellen Fall eines von Herrn P. Boutroux bewiesenen 
Satzes^) aus der Theorie der ganzen transzendenten Funktionen 
darstellt. Da indessen die Herleitungr nur wenige Zeilen er- 
fordert, so erscheint es mir zweckmäßig, sie hier gleich an- 
zugeben. Man hat zunächst: 
(lU) 
(/(y)' <11^ 
1 + 
.</■<'+ 'fr’) 
H' > + 
n -\- i 
Wird £ > 0 beliebig klein vorgeschrieben, so läßt sich, 
V 
wegen lim — = 0, n so fixieren, daß 
V= CD 
also: 
1I'( 
W-j-l ^ 
(115) 
1+-^- 
r/2 
J-v 
1 £ 
<o ~ 
qy 2 n V 
<11 1 
< e‘ 
für : >' > w , 
J/l 
2 
e y\ 
I 
sm i-^y\ 
(wenn | y nur von vornherein so groß angenommen wird, daß 
£-|//|^l). Andererseits läßt sich eine untere Schi-anke Ile 
für I ^ I so fixieren, daß 
1) Bull. Soc. Math, de France 11 (1883), p. 142. 
2) Par. C. R. 134 (1902), p. 83. Vgl. auch Math. Ann.58 (1904), p. 311, 
Fußnote und p. 313. 
