Eulersclie Reihen-Transformation. 
91 
(Jy , V 
Da lim ~ = ex, also lim — = 0, so läßt sich n durch 
r = X 7' = X 
entsprechende Vergrößerung von x so fixieren, daß die beiden 
Beziehungen bestehen : 
la- 
2 e qn 
(122) Q., 
Q^n 
n 
n ^ e 
^4’ 
1 . 1^3 • £ , 
— < — tur: V > n. 
q,, 4 71 V 
Alsdann gehen aber die Ungleichungen (124) und (126) 
in die folgenden über : 
I y»iPx) h’ 
< 
2 
. £ 
Sin f - 
dä 
Durch Einführung dieser beiden Ungleichungen in Glei- 
chung (118) ergibt sich somit schließlich, wie behauptet (siehe 
Ungleichung (113)): . / n i 
(für alle hinlänglich großen x), womit der ausgesprochene Satz 
jetzt vollständig bewiesen ist. 
Da das vorstehende Resultat im wesentlichen nur auf einer 
bestimmten Eigenschaft der Exponenten m,, beruht, während 
die Koeffizienten a,„^ einzig und allein der Bedingung 
lim V I a’'\. I = 1 
V = X 
zu genügen haben ^), so erscheint dasselbe besonders geeignet, 
um Beispiele solcher Funktionen herzustellen, welche auf dem 
Einheitskreise noch Derivierte jeder beliebigen Ordnung be- 
sitzen und dennoch über denselben hinaus nicht fortsetzbar 
1) Man könnte offenbar diese Bedingung noch dahin verallge- 
meinern, daß man nur eine Beziehung von der Form 
__ »*,• 
lim |/; rt,„ j = « > 0 
r = CD ’’ 
verlangt. An die Stelle des Einheitskreises tritt dann der Kreis um den 
Nullpunkt mit dem Radius — als singuläre Linie. 
