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A. Pringsheim: Euleische Reihen-Transformation. 
sind. Man hat hierzu die a„,^ nur so auszuwählen, daß sie 
außer der eben genannten Bedingung noch der folgenden ; 
lim mP ■ = 0 für jedes endliche p> 0 
» ■ =r X 
genügen, was sich auf unendlich viele Arten erzielen läßt^). 
(Beispiele : »ly = v”*, = a’’, wo m eine ganze Zahl > 2, 
a ein achter Bruch ; nty = m'\ wm wieder m eine ganze Zahl 
> 2, a™,. = ^ oder ö„.„ = . 
oc 
Transformiert mau f{x) ~ Hilfe der Sub- 
0 
stitution X = e*' (wo also t reell, wenn '^x\ = 1) so entspricht 
jeder auf dem Einheitskreise gelegenen singulären Stelle x' 
von f{x) eine reelle singuläre Stelle t' (bzw. deren unendlich 
viele, nach dem Modul 2,-7 kongruente) von als Funktion 
der reellen Veränderlichen t, während zugleich deren unbe- 
schränkte Differenzierbarkeit erhalten bleibt. Da f{x~''^') bzw. 
/"(e“'’) offenbar die analogen Eigenschaften besitzt und, wie 
leicht zu sehen, die singulären Stellen von f{x) und f{x~^) 
durch Bildung von f{x) ± sich nicht gegenseitig anul- 
lieren können, so existieren die Reihensummen 
^ya„^Xx”'y ± X-'"y) 
0 
mit Derivierten jeder Ordnung nur auf dem Einheitskreise und 
es definieren demnach die Reihen 
00 ao 
'^"Cimy cos m'^t, sin myt 
0 0 
Funktionen der reellen Veränderlichen t, welche durchweg un- 
beschränkt diflferenzierbar, aber nirgends nach der Taylor- 
schen Reihen entwickelbar sind ^). 
J) Ygl. Math. Ann. 44 (1894), p. 43. 
'^) Vgl. die in der vorigen Fußnote zitierte Arbeit, p. 43. 
Ein besonders lehrreiches Beispiel dieser Art liefert die Reihe 
“ 1 . 
sin 3’f, deren Taylorsche Entwickelung für unendlich viele 
0 
überall dicht liegende Stellen zwar beständig divergente, für andere 
ebenfalls überall dicht liegende beständig konvergente Reihen 
liefert. Ygl. Math. Ann. 42 (1893), p. 179. 
