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H. Burkhardt 
Cauchy dagegen scheint zu Beginn seiner Untersuchungen 
diese allgemeinen Integralsätze nicht gekannt zu haben; er 
hat vielmehr ursprünglich, wie er später selbst mitteilt'), ein 
anderes Verfahren benutzt, das sich ungefähr folgendermaßen 
darstellen läßt: Einer linearen homogenen Differentialgleichung 
mit konstanten Koeffizienten und den beiden unabhängigen 
Variabein x, t kann durch eine , Elementarlösung“ der Form 
t) cos kx 
genügt werden; die Funktion E von t bestimmt sich dabei 
durch eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung mit kon- 
stanten Koeffizienten, läßt sich also durch eine Summe von 
Exponentialfunktionen reellen oder komplexen Arguments aus- 
drücken. Die Summe beliebig vieler, mit beliebigen Konstanten 
multiplizierter solcher Elementarlösungen ist dann selbst eine 
Lösung; also auch das nach dem Parameter genommene, über 
ein beliebiges Intervall erstreckte Integral der mit einer will- 
kürlichen Funktion des Parameters multiplizierten Elementar- 
lösung: 
11 = ^ (p{^)E{fi,t)cosxi d^. ( 4 ) 
Soll diese Lösung so bestimmt w^erden, daß sie sich für 
^ = 0 — wo E{^,t) = \ w'erden soll — auf eine gegebene 
Funktion f{x) reduziert, daß also 
Autors benutzt. In der Tat steht die Formel (1) noch nicht in Fouriers 
Preisschi-ift von 1811 (Paris mem. 4, 1819/20 [24]), sondern erst in der 
theorie de la chaleur. Paris 1822, no. 354 — ceuvres 1, p. 402. 
') Paris mem. pres. 1, 1827 = ceuvres (1) 1, p. 295 (von 1827); vgl. 
auch p. 152 (von 1815). 
^) Ich entnehme diesen Terminus, wie auch weiter unten .Haupt- 
lösung“ den Vorlesungen von F. Klein; vgl. A. Sommerfeld, Math. 
Ann. 45, 1894, p. 2G3. Eine .Elementarlösung“ ist noch keine .ausge- 
zeichnete Lösung“ ; dazu wird sie erst durch spezielle, den etwaigen 
Randbedingungen angepaßte Wahl des Parameters — Die Termino- 
logie von Boussinesq, der „ausgezeichneten Lösungen“ und .Haupt- 
lösungen“, beide als .Solutions simples naturelles“ bezeichnet, scheint 
mir weniger zweckmäßig. 
