Cauchys und Poissons Untersuchungen über Wasserwellen. lOo 
die Zulässigkeit einer solchen Umfoi’mung sind freilich, sofern 
es sich um Integrale über ein unendliches Intervall handelt, 
von Cauchy in seinen früheren Abhandlungen nur ungenügend 
angegeben worden; und die später von ihm angegebenen sind 
in seinen Beispielen nicht immer erfüllt. Die für uns in Be- 
tracht kommende Relation ist in der Preisarbeit nur verifiziert, 
nicht abgeleitet; dagegen gibt er in einer späteren Abhand- 
lung') eine Ableitung, die jedenfalls als seine ursprüngliche 
anzusehen ist. Man kann ihren wesentlichen Inhalt folgender- 
maßen darstellen; 
1. Wird der Integralsatz auf die Funktion 
f{z) — exp {ixs + tVz) , 
in der x und t positive Parameter bedeuten sollen und der 
Quadratwurzel ihr Hauptwert beizulegen ist, und die Halbebene 
der z mit positiv imaginärem Bestandteil angewendet, so wird 
erhalten : 
jV (X 1 + < Vf) ^ _ Jg - . x« - < I ^ 
u U 
oder nach Trennung des reellen und imaginären Bestandteils: 
0 0 
2. Anwendung des Integralsatzes auf den ersten Quadranten 
gibt, wenn den vorkommenden Quadratwurzeln ihre Hauptwerte 
beigelegt werden: 
') Memoire sur les integrales definies, prises entre des limites ima- 
ginaires, Paris 1825, p. 59. Daß hier in der Tat Cauchys ursprüngliche 
Ableitung vorliegt, dafür scheint mir auch der Umstand zu sprechen, 
daß die Rechnung weit hinter den sonst um diese Zeit von Cauchy an 
sich selbst gestellten Anforderungen an Strenge zurückbleibt. 
