Uber den Taylorschen Lehrsatz für Funktionen 
einer reellen Veränderlichen. 
Von Alfred Priiigrsheim. 
Vorgetragen in der Sitzung am 2. März 1912. 
In mehreren vor nahezu zwanzig Jahren von mir publi- 
zierten Arbeiten^) habe ich versucht, die Theorie der Taylor- 
schen Reihe für Funktionen einer reellen Veränderlichen zu 
einem gewissen Abschlüsse zu bringen, einmal durch Aufstel- 
lung einwandfreier und möglichst durchsichtig gearteter Bei- 
spiele von unbeschränkt differenzierbaren Funktionen, deren 
Taylorsche Entwickelung an vereinzelten oder auch an überall 
dicht liegenden Stellen entweder beständig divergent ausfällt 
oder aber konvergiert, ohne die erzeugende Funktion dar- 
zustellen; sodann, indem ich die bis dahin ausschließlich als 
'hinreichend bekannten Gültigkeitsbedingungen des Taylor- 
schen Satzes zu notwendigen und hinreichenden ergänzte. 
1) 1. Zur Theorie der Taylorachen Reihe und der analytischen 
Funktionen mit beschränktem Existenzbereich. Math. Ann. 42 (1893), 
p. 153. — 2. Über Funktionen, welche in gewissen Punkten endliche 
Differentialquotienten jeder endlichen Ordnung, aber keine Taylorsche 
Reihenentwickelung besitzen. Math. Ann. 44 (1894), p. 41. — 3. Über 
die notwendigen und hinreichenden Bedingungen des Taylorschen 
Lehrsatzes für Funktionen einer reellen Variablen. Ebendas., p. 57. — 
4. Über die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Ent- 
wickelbarkeit von Funktionen einer reellen Variablen nach der Taylor- 
schen Reihe und über nichtentwickelbare Funktionen mit durchweg 
endlichen Differentialquotienten. Chicago Congress (1893), Math. Papers, 
p. 288. 
