138 
A. Prinpfsheim 
Übschon ich das letztere, bei dem damaligen Stande der Frage 
immerhin einigermaßen überraschende Resultat^) mit verhältnis- 
mäßig einfachen (damals glaubte ich sogar mit den „denkbar 
einfachsten“) Hilfsmitteln gewonnen hatte, so ist es mir neuer- 
dings gelungen, den wesentlichsten Teil der betreffenden De- 
duktion, nämlich den Beweis für die Notwendigkeit einer 
gewissen Bedingung so erheblich zu vereinfachen®), daß er in 
seiner jetzigen Gestalt in jeder Elementar-Voriesung über Dif- 
ferentialrechnung Platz finden könnte. Dieser vereinfachte 
Beweis bildet den Inhalt des ersten Paragraphen der folgenden 
Mitteilung. In § 2 gebe ich dann auch für den hinreichen- 
den Charakter der fraglichen Bedingung einen nach meinem 
Dafürhalten durchaus neuen und zugleich äußerst einfachen 
Beweis, welcher, im Gegensatz zu dem bisherigen, nicht auf 
der Tay lorschen Formel mit einem Restgliede, also schließ- 
lich auf dem Mittelwertsatze der Differentialrechnung, viel- 
mehr auf dem Satze beruht, daß eine Funktion mit verschwin- 
dendem vollständigen Differentialquotienten eine Konstante sein 
muß. Nun pflegt man zwar gewöhnlich diesen letzteren Satz 
als Folgerung aus dem erwähnten Mittelwertsatze herzuleiten. 
Indessen läßt er sich, wie hier ausdrücklich hervorgehoben 
werden möge, auch unabhängig davon und zwar merklich ein- 
facher, als der Mittelwertsatz begründen, zu dessen strenger 
Herleitung ja der Weierstraßsche Satz über die Existenz 
eines größten bzw. kleinsten Wertes jeder in einem Intervalle 
stetigen Funktion oder ein diesen Satz umgehendes, immerhin 
einigermaßen künstliches Verfahren®) erforderlich ist. 
Ygl. die in der vorigen Fußnote unter Nr. 3 angeführte Abhand- 
lung p. 61. (NB. Auf die ebengenannte Abhandlung beziehen sich auch 
die folgenden Zitate.) 
2) Bei dem früheren Beweise benützte ich insbesondere einen für 
Anfänger wohl ziemlich schwierigen Satz über gleichmäßige Konvergenz 
von Reihen, die nach Funktionen zwei er Variablen fortschreiten. Vgl. 
a. a. 0., p. 65, 80. 
Vgl. G. Kowalewski, Grundzüge der Differential- und Integral- 
rechnung (Leipzig 1909), p. 69 tf. 
