über den Taylorschen Lehrsatz. 
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Besitzt nämlich f(x) für x^<. x <. X einen vollständigen, 
bei x = Xf^ bzw. x — X wenigstens einen rechten bzw. linken^), 
beständig verschwindenden Differentialquotienten, so läßt sich 
nach Annahme eines beliebig kleinen e > 0 eine Folge wach- 
sender, mit Xq beginnender Zahlen x,. (r = 0, 1, 2, . . .) so aus- 
wählen, daß für r = 1, 2, 3, . . . beständig: 
/■(aJ.-OI ^ 
< 
Xy Xy-\ 
also schließlich: 
— f{x^) <e - Xy — x^ . 
Bedeutet also x eine ganz beliebige, von x^ verschiedene 
Stelle des betreffenden Intervalls, so hätte man analog: 
\f{^) — fiXa) <f x — x^ <e- X — x^, 
d. h. schließlich: 
f(x) = f{x^), 
falls es allemal möglich ist, das Intervall {x^x) durch Ein- 
schaltung einer endlichen Anzahl von Zwischenwerten 
Xy {v = 1, 2, . . . n) in Teil-Intervalle (Xy-iX,.) bzw. {x„x) zu 
zerlegen, derart daß für jedes derselben eine Ungleichung von 
der oben angegebenen Form besteht. Die Annahme des Gegen- 
teils erweist sich aber auf Grund einer bekannten Schlußweise 
B Es würde offenbar auch genügen, bei x = Xq bzw. x = X die 
bloße Stetigkeit nach rechts bzw. links für f(x) vorauszusetzen. 
2) Es ist das diejenige Schlußweise, welche Heine (Journ. f. ilath_ 
74 [1872], p. 188) zum Beweise der gleichmäßigen Stetigkeit einer punkt- 
weise stetigen Funktion angewendet hat und deren Resultat in etwas 
verallgemeinerter Form neuerdings als Heine-Borelsches Theorem be- 
zeichnet zu werden pflegt. Im übrigen verdient bemerkt zu werden» 
daß der Beweis für die gleichmäßige Stetigkeit im wesentlichen 
schon ganz in derselben Form bei Dirichlet vorkommt, sofern die 
von G. Arendt herausgegebenen Vorlesungen über bestimmte Integrale 
(gehalten im Sommer 1854) als authentisch gelten dürfen (siehe a. a. 0., 
p. 4 — 6). Dabei bezieht sich der von mir soeben gemachte beschränkende 
Zusatz: ,im wesentlichen“ lediglich darauf, daß Dirichlet, statt 
mit Ungleichungen von der Form f{xj — /^(^,._i) <[ e» mit Glei- 
chungen: f(xj — f (x^_i) = + e operiert, so daß er also unnötigerweise 
