über den Tiiylorschen Lehrsatz. 
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Eine Koeffizienten-Eigenschaft konvergenter Potenzreihen, welche 
eine notwendige Bedingung für die Gültigkeit der Taylorschen 
Reihenentwickelung liefert. 
Hilfssatz. Bedeutet Xq eine heUehUje reelle Zahl einschließ- 
lich der Null, x eine reelle Veränderliche und 
(1) S (x) ~ Cy {x — rCo)- 
0 
eine für 0 ^ x — x^ < i? lionvergierende Potenzreihe, so hat 
man hei beliebig angenommenem positiven r<B.: 
(2) lim ~ {x^ ± h) • (>• — /O" = 0 
und zwar gleichmäßig für: 
Q<h<r. 
Beweis. Nach Annahme von läht sich 6>0 immer 
00 
noch so fixieren, daß auch r-\-ö<iIi ausfällt, also '^y Cy-{r-\- öy 
u 
noch (absolut) konvergiert. Infolgedessen bleiben die Zahlen 
Cy • (r + (5)” durchweg unter einer endlichen Schranke, etwa; 
(3) + (v = 0, 1,2,...). 
Setzt man sodann x = XQ±.h, wo 0</«<r, so wird: 
S (Xq ± h) = C,. (± hy 
0 
und daher: 
(Xf^ ± h) = (± 1)’' • i’ (v — 1) . . . (r — w + 1) • Cyh''~". 
Daraus folgt weiter: 
ni 
0 
{n-P 
